Válec
Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.
Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.
Rotační válec[editovat | editovat zdroj]
Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
- Pro objem rotačního válce platí
kde je poloměr podstavy a je výška válce.
- Obsah pláště rotačního válce je
- , obsah podstavy je
Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí
- Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
- Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.
Válcová plocha a prostor[editovat | editovat zdroj]
Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku , která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky , tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.
Rovnice[editovat | editovat zdroj]
Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.
Eliptický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]
Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí
Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině s rovnicí a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .
Pro se jedná o rotační válec s osou rotace .
Hyperbolický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]
Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí
Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině s rovnicí a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .
Parabolický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]
Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí
Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině s rovnicí a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .
Obecný válec[editovat | editovat zdroj]
Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině a má rovnici , a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou , lze zapsat rovnicí
Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.
Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem , pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
Objem válce určíme ze vztahu
- ,
kde je obsah podstavy a je hloubka válce.
Obsah povrchu válce je dán vztahem
- ,
kde je obsah podstavy a je obsah pláště válce.
Odkazy[editovat | editovat zdroj]
Literatura[editovat | editovat zdroj]
- Ottův slovník naučný, heslo Válec. Sv. 26, str. 351
Související články[editovat | editovat zdroj]
Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]
- Obrázky, zvuky či videa k tématu válec na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo válec ve Wikislovníku
- Povrch válce na MATHguide
- Objem válce na MATHguide
- Spinning Cylinder na Math Is Fun
- Objem válce animace na Math Open Reference
- Řez válcem